Question

7．已知椭圆C的中心在坐标原点O，左焦点为F（-l，0），离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点F的直线，与椭圆C交于A、B两点，设$\overrightarrow{AF}=λ\overrightarrow{FB}$（其中1＜入＜3），求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由c=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，b²=a²-c²，求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）由题意可知设直线方程，将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理可知求得y₁+y₂，y₁•y₂，由$\overrightarrow{AF}=λ\overrightarrow{FB}$（其中1＜λ＜3），可知：y₁=-λy₂，构造辅助函数t=λ+$\frac{1}{λ}$-2，t∈（0，3），代入求得m²=$\frac{2t}{4-t}$，根据向量数量积的坐标表示求得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=$\frac{1-2{m}^{2}}{2+{m}^{2}}$，m²=$\frac{2t}{4-t}$，根据一次函数的单调性即可求得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范围．

解答 解：（1）由题意可知：设椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
c=1，椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴a=$\sqrt{2}$，
由b²=a²-c²=1，
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）$\overrightarrow{AF}=λ\overrightarrow{FB}$（其中1＜λ＜3），可知直线斜率不为0，
设直线l：x=my-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴y₁=-λy₂，
$\left\{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（2+m²）y²-2my-1=0，
由韦达定理可知：y₁+y₂=$\frac{2m}{2+{m}^{2}}$，y₁•y₂=$\frac{-1}{2+{m}^{2}}$，
∴$\frac{4{m}^{2}}{2+{m}^{2}}$=$\frac{（1-λ）^{2}}{λ}$=λ+$\frac{1}{λ}$-2，
令t=λ+$\frac{1}{λ}$-2，t∈（0，$\frac{4}{3}$），
可得：m²=$\frac{2t}{4-t}$，
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂=（my₁-1）（my₂-1）+y₁•y₂，
=（1+m²）y₁•y₂-m（y₁+y₂）+1，
=$\frac{1-2{m}^{2}}{2+{m}^{2}}$，
将m²=$\frac{2t}{4-t}$代入整理得：$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=$\frac{4-5t}{8}$，t∈（0，$\frac{4}{3}$），
由f（t）=$\frac{4-5t}{8}$，在（0，$\frac{4}{3}$）单调递减，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$∈（-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查椭圆的方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理向量数量积的坐标运算，函数的最值，考查构造法，考查计算能力，属于中档题．