Question

如图，四棱锥中，底面为直角梯形,∥, ，平面,且，为的中点

（1） 证明：面面

（2） 求面与面夹角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1） 详见解析；（2） 面与面夹角的余弦值．

【解析】

试题分析：（1） 证明：面面，在立体几何中，证明面面垂直，往往转化为证明线面垂直，即证一个平面过另一个平面的垂线，由已知，即,又因为∥,则,只需在平面内再找一条垂线即可，由已知平面,从而得,这样平面,即得面面;也可利用向量法, 以为坐标原点长为单位长度，分别以为轴建立空间直角坐标系，利用向量来证,即得,其它同上；

（2） 求面与面夹角的余弦值，可建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的大小，由（1） 建立的间直角坐标系，设出两个半平面的法向量，利用法向量的性质，求出两个半平面的法向量，利用法向量来求平面与平面的夹角的余弦值．

试题解析：（1） 以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为.

（1） 证明：因

由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面.

又在面上，故面⊥面. 5分

（2） 解：在上取一点，则存在使

要使，只需，即，解得，可知当时，点的坐标为，能使，此时，，有，由得，所以为所求二面角的平面角.因为，，，故．

面与面夹角的余弦值. 12分

考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．