Question

如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆:,设是椭圆上的任一点，从原点向圆：作两条切线，分别交椭圆于点，.

（1）若直线，互相垂直，求圆的方程；

（2）若直线，的斜率存在，并记为，，求证：；

（3）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．

Answer 1

（1）；（2）；（3）定值为36．

【解析】

试题分析：（1）因为直线，互相垂直，且和圆相切，所以；再结合点在椭圆上，得到关于的方程组进行求解；（2）设出的直线方程，利用直线与圆相切，得到与的关系；再根据在椭圆上，得出关系，整理即可；（3）分别联立两直线与椭圆的方程，得出的关系，借助进行证明.

试题解析：（1）由圆的方程知，圆的半径的半径，

因为直线，互相垂直，且和圆相切，

所以，即，①

又点在椭圆上，所以，②

联立①②，解得

所以所求圆的方程为．

（2）因为直线：，：，与圆相切，

所以,化简得

同理，

所以是方程的两个不相等的实数根，

因为点在椭圆C上，所以，即，

所以，即．

（3）是定值，定值为36，

理由如下：

法一：（i）当直线不落在坐标轴上时,设,

联立解得

所以，同理，得，

由，

所以

（ii）当直线落在坐标轴上时,显然有，

综上：．

法二：（i）当直线不落在坐标轴上时,设,

因为，所以,即，

因为在椭圆C上，所以，

即，

所以，整理得，

所以，

所以．

（ii）当直线落在坐标轴上时,显然有，

综上：．

考点：1.直线与圆的位置关系；2.直线与椭圆的位置关系；3.定值问题．