题目内容

设f(x)=sin(w x＋j )给出以下四个论断：

①它的图象关于直线对称；

②它的图象关于点对称；

③它的周期是π；

④它在区间上是增函数．

以其中的两个论断作为条件，余下的两个论断作为结论，写出你认为正确的两个命题，并对其中一个命题加以证明．

答案：略
解析：

解：两个正确命题如下：

(1)；(2)．

证明如下：

(1)由③函数f(x)的周期为n得w =2．

∴f(x)=sin(2x＋j )．

由①函数f(x)图象关于直线对称，则．又，即k=0，且，∴．∴．当时．∴f(x)的图象过点，即关于点对称，②成立．

下面证明在上是增函数．

由时f(x)为增函数．

解得(kÎ Z)，即f(x)的增区间为

(kÎ Z)．取k=0，得．又∴f(x)在内是增函数．∴④成立．由的证明略．

综合运用y=Asin(w x＋j )的性质作出判断，然后运用讨论y=Asin(w x＋j )的性质的一般方法进一步讨论．


提示：

本题属于开放性命题，给定命题的条件，自己探索得出结论，需要有一定的结合分析推理能力，是近几年高考命题的新题型．


练习册系列答案
相关题目
设f(x)=sin(2x+
π
6
)+2msinxcosx，x∈R．
（1）当m=0时，求f（x）在[0，
π
3
]内的最小值及相应的x的值；
（2）若f（x）的最大值为
1
2
，求m的值．
设f(x)=
sin(
π
2
x+
π
4
)		(x≤2008)
f(x-5)(x＞2008)
，则f（2007）+f（2008）+f（2009）+f（2010）=
 
．
设f(x)=
sinπx(x＜0)
f(x-1)+1(x≥0)
，g(x)=
cosπx(x＜
1
2
)
g(x-1)+1(x≥
1
2
)
，则g(
1
4
)+f(
1
3
)+g(
5
6
)+f(
3
4
)的值为
3
3
．
设f(x)=
sinπx，(x＜0)
f(x-1)+1(x≥0)
，g(x)=
cosπx，(x＜
1
2
)
g(x-1)+1(x≥
1
2
)
，则f(
1
3
)+g(
5
6
)=
2
2
．
下列命题中正确的是（　　）

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