Question

9．设无穷等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S₃=12．
（1）求a₂₄与S₇的值；
（2）已知m、n均为正整数，满足a_m=S_n．试求所有n的值构成的集合．

Answer 1

分析 （1）因数列{a_n}是等差数列，可得S₃=3a₂=12，可得a₂，又a₁=1，可得公差d，即可得出a_n与S_n．
（2）由（1）知a_m=3m-2，由a_m=S_n，得$3m-2=\frac{{3{n^2}-n}}{2}$，化简即可得出．

解答 解：（1）因数列{a_n}是等差数列，
所以S₃=3a₂=12，所以a₂=4，…（2分）
又a₁=1，所以公差d=3，
所以a_n=1+3（n-1）=3n-2，${S_n}=\frac{1}{2}（1+3n-2）n=\frac{{3{n^2}-n}}{2}$，…（4分）
所以a₂₄=70，${S_7}=\frac{{3•{7^2}-7}}{2}=70$．…（6分）
（2）由（1）知a_m=3m-2，
由a_m=S_n，得$3m-2=\frac{{3{n^2}-n}}{2}$，…（8分）
所以$m=\frac{{3{n^2}-n+4}}{6}=\frac{{3{n^2}+3n-4n+4}}{6}=\frac{{{n^2}+n}}{2}-\frac{2}{3}（n-1）$，…（10分）
因n²+n=n（n+1）为正偶数，$\frac{{{n^2}+n}}{2}$为正整数，…（12分）
所以只需$\frac{2}{3}（n-1）$为整数即可，即3整除n-1，…（14分）
所以A={n|n=3k+1，k∈N}．…（16分）

点评 本题考查了等差数列通项公式与求和公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．