Question

15．下列命题：
①若函数f（x）=lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+a}$）为奇函数，则a=1；
②函数f（x）=|sinx|的周期T=π；
③方程lgx=sinx有且只有三个实数根；
④对于函数f（x）=$\sqrt{x}$，若0＜x₁＜x₂，则f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$．
以上命题为真命题的是①②③．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析 根据奇函数的定义，可判断①；求出函数的周期，可判断②；判断方程根的个数，可判断③，根据函数的凸凹性，可判断④

解答 解：①若函数f（x）=lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+a}$）为奇函数，
则f（0）=lg$\sqrt{a}$=0，解得：a=1；
当a=1时，函数f（x）=lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）满足f（-x）=-f（x），故正确；
②函数f（x）=|sinx|的周期T=π，故正确；
③方程lgx=sinx有且只有三个实数根，故正确；
④对于函数f（x）=$\sqrt{x}$，若0＜x₁＜x₂，则f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$．故错误；
故答案为：①②③

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的图象和性质，难度中档．