Question

已知在平面直角坐标系中的一条双曲线，它的中心在原点，左焦点为F（-

5

，0），且过点（2，0）．
（Ⅰ）求该双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设点A（1，2），若P是双曲线上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程,双曲线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）直接利用已知条件求出a、b，即可求该双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（x₀，y₀），利用P是双曲线上的动点，即可求线段PA的中点M的轨迹方程．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得双曲线的半焦距c=

5

，实半长轴a=2，则虚半轴轴b=1．（3分）
又双曲线的焦点在x轴上，∴双曲线的标准方程为

x2

4

-y2=1．（5分）
（Ⅱ）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（x₀，y₀），
由

x= x0+1 2 y= y0+2 2

，得

x0=2x-1 y0=2y-2

，（9分）
由点P在双曲线上，得

(2x-1)2

4

-(2y-2)2=1，（11分）
∴线段PA中点M的轨迹方程是(x-

1

2

)2-4(y-1)2=1．（12分）

点评：本题考查轨迹方程的求法，双曲线的标准方程的求法，考查转化思想以及计算能力．