Question

19．已知函数f（x）=$\sqrt{（{m^2}-1）{x^2}-（1-m）x+1}$的值域为[0．+∞），求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 函数f（x）是一个复合函数，f（x）的值域为[0．+∞），外层函数是定义域内的增函数，只需保证内层函数（m²-1）x²-（1-m）x+1值域能取到[0．+∞）即可实数m的取值范围．

解答 解：由题意：函数f（x）=$\sqrt{（{m^2}-1）{x^2}-（1-m）x+1}$是一个复合函数，设f（x）=${u}^{\frac{1}{2}}$（u≥0）值域为[0．+∞），则u=（m²-1）x²-（1-m）x+1的值域能取到[0．+∞）即u_min≤0可满足题意．
∴m²-1＞0．解得：m＞1或m＜-1．
∵u=（m²-1）x²-（1-m）x+1，开口向上，对称轴x=$-\frac{1}{2（m+1）}$，
那么：${u}_{min}=（{m}^{2}-1）（\frac{1}{2（m+1）}）^{2}+（1-m）（\frac{1}{2（m+1）}）+1$≤0
整理得：3m²+8m+5≤0
解得：-$\frac{5}{3}$≤m≤-1
当m=-1时，u=（m²-1）x²-（1-m）x+1=-2x+1，值域能取到[0．+∞），故m=-1成立．
所以：-$\frac{5}{3}$≤m≤-1．
故实数m的取值范围为[-$\frac{5}{3}$，-1]．

点评 本题考查了复合函数的值域问题，通过值域来求参数．计算量大，化简繁琐，属于中档题．