Question

如图，抛物线上有两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且，又．
（1）求证：；
（2）若，求AB所在直线方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）先确定x₁x₂=-4，再用坐标表示向量，利用向量共线的条件，即可得到结论；
（2）利用向量条件，确定A的坐标，再利用两点式，即可求AB所在直线方程．
解答：（1）证明：∵A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且，
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴x₁x₂+（x₁x₂）²=0
∴x₁x₂=-4
∵=（-x₁，-2+），
=（x₂-x₁，y₂-y₁）=（x₂-x₁，-+）
∴（-x₁）（-+）+（x₂-x₁）（-2+）=0
∴；
（2）解：∵，∴（x₁，2-）=-2（x₂，2-）
∴x₁=-2x₂，
∵x₁x₂=-4，∴x₂=
∴x₁=-2x₂=-2
∴y₁=-=-4，即A（-2，-4）
∴AB所在直线方程为，即y=．
点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．