Question

4．已知圆C：x²+（y-2）²=4，直线l₁：y=x，l₂：y=kx-1，若l₁，l₂被圆C所截得的弦的长度之比为$\sqrt{2}：1$，则k的值为$±\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先求出圆C：x²+（y-2）²=4的圆心C（0，2），半径r=2，再求出圆心到直线的距离，从而得到直线被圆C所截得的弦的长度，由此能求出k的值．

解答 解：∵圆C：x²+（y-2）²=4的圆心C（0，2），半径r=2，
圆心C（0，2）到直线l₁：y=x的距离d₁=$\frac{|-2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
l₁被圆C所截得的弦的长度l₁=2$\sqrt{{r}^{2}-{{d}_{1}}^{2}}$=2$\sqrt{4-2}$=2$\sqrt{2}$，
圆心C（0，2）到直线l₂：y=kx-1的距离d₂=$\frac{|0-2-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{3}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
l₂被圆C所截得的弦的长度l₂=2$\sqrt{{r}^{2}-{{d}_{2}}^{2}}$=2$\sqrt{4-\frac{9}{{k}^{2}+1}}$，
∵l₁，l₂被圆C所截得的弦的长度之比为$\sqrt{2}：1$，
∴$2\sqrt{2}$：2$\sqrt{4-\frac{9}{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}：1$，
∴$\sqrt{4-\frac{9}{{k}^{2}+1}}$=1，
解得k=$±\sqrt{2}$．
故答案为：$±\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质和点到直线的距离公式的合理运用．