Question

（2012•成都模拟）已知向量

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），且x∈[0，

π

2

]；
（I）求

a

•

b

及|

a

+

b

|；
（II）若f（x）=

a

•

b

-

3

|

a

+

b

|sinx，求f（x）的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（I）由向量

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

）代入向量数量积公式，再利用两角和的余弦公式可得

a

•

b

，再利用平方法求出|

a

+

b

|²，结合x∈[0，

π

2

]，可得|

a

+

b

|；
（II）由（I）求出函数的解析式，并利用和差角公式进行化简，结合x∈[0，

π

2

]求出相位角2x+

5

6

π的范围，进而由正弦函数的图象和性质，可求出f（x）的最大值与最小值

解答：解：（I）∵向量

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），
∴

a

•

b

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x）•（cos

x

2

，-sin

x

2

）=cos

3

2

x•cos

x

2

-sin

3

2

xsin

x

2

=cos（

3

2

x+

x

2

）=cos2x，
|

a

|=|

b

|=1
∴|

a

+

b

|²=

a

2+

b

2+2

a

•

b

=2+2cos2x=4cos²x
又∵x∈[0，

π

2

]
∴|

a

+

b

|=2cosx
（II）∵f（x）=

a

•

b

-

3

|

a

+

b

|sinx=cos2x-2

3

cosxsinx=cos2x-

3

sin2x=2sin（2x+

5

6

π）
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

5

6

π∈[

5

6

π，

11

6

π]
∴当2x+

5

6

π=

5

6

π，即x=0时，函数取最大值1，
当2x+

5

6

π=

3π

2

，即x=

π

3

时，函数取最小值-2

点评：本题考查的知识点是平面向量数量积运算，向量的模，两角和差公式，倍角公式，正弦型函数的最值，是三角函数与向量的综合应用，难度中等．