Question

12．已知关于x的不等式ax²-bx+c≥0的解集为{x|1≤x≤2}，则cx²+bx+a≤0的解集为（-∞，-1]∪[-$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 根据不等式ax²-bx+c≥0的解集求出a、c、b的关系，再把不等式cx²+bx+a≤0转化为x²+$\frac{b}{c}$x+$\frac{a}{c}$≥0，求出它的解集即可．

解答 解：∵不等式ax²-bx+c≥0的解集为{x|1≤x≤2}，
∴a＜0，且1+2=$\frac{b}{a}$，1×2=$\frac{c}{a}$，
即$\frac{b}{a}$=3，$\frac{c}{a}$=2，
∴c＜0，b＜0，
∴$\frac{b}{c}$=$\frac{3}{2}$，$\frac{a}{c}$=$\frac{1}{2}$，
∴不等式cx²+bx+a≤0转化为x²+$\frac{b}{c}$x+$\frac{a}{c}$≥0，
即为x²+$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{2}$≥0，
即为（2x+1）（x+1）≥0，
解得x≤-1或x≥-$\frac{1}{2}$；
∴不等式cx²+bx+a≤0的解集为（-∞，-1]∪[-$\frac{1}{2}$，+∞）．
故答案为：（-∞，-1]∪[-$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，解题时要联系对应的一元二次方程根与系数的关系，是基础题目．