Question

7．定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数f（x），若函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式$\frac{f（x）}{x}＜0$的解集为（-1，0）∪（0，1）．

Answer 1

分析 由函数的奇偶性、单调性可作出函数的草图，根据图象可解不等式．

解答 解：由题意得到f（x）与x异号，
故不等式$\frac{f（x）}{x}＜0$可转化为：$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$，
根据题意可作函数图象，如右图所示：
由图象可得：当f（x）＞0，x＜0时，-1＜x＜0；
当f（x）＜0，x＞0时，0＜x＜1，
则不等式$\frac{f（x）}{x}＜0$的解集是（-1，0）∪（0，1）．
故答案为：（-1，0）∪（0，1）

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用及不等式的求解，考查数形结合思想，解决本题的关键是利用函数的性质作出函数草图．