Question

5．曲线C：f（x）=x³-2x²-x+1，点P（1，0），求过点P的切线l与C围成的图形的面积．

Answer 1

分析 由于切线过点P，故先设切点求切线方程，再与曲线C联立，可求交点坐标，从而利用定积分求曲线围成的图形面积．

解答 解：f'（x）=3x²-4x-1
设切点P₀（x₀，y₀），则$\left\{\begin{array}{l}{y_0}=x_0^3-2x_0^2-{x_0}+1①\\ 3x_0^2-4{x_0}-1=\frac{y_0}{{{x_0}-1}}②\end{array}\right.$…（2分）
由②得${y_0}=3x_0^3-7x_0^2+3{x_0}+1$
代入①得$2x_0^3-5x_0^2+4{x_0}=0$，∴${x_0}（2x_0^2-5{x_0}+4）=0$，
∴x₀=0，∴y₀=1，∴切线为y=-x+1…（6分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=-x+1\\ y={x^3}-2{x^2}-x+1\end{array}\right.$得x=0或x=2…（10分）
∴$S=|\int_0^2{（{x^3}-2{x^2}）dx}|=\frac{4}{3}$…（12分）

点评 本题以曲线为载体，考查曲线的切线方程，考查利用定积分求曲线围成的图形面积，解题的关键是区分在点处与过点的切线方程的求解．