Question

6．如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：
（1）PA∥平面BDE
 （2）PC⊥BD．

Answer 1

分析 （1）连接OE，OE∥PA，由直线与平面平行的判定定理，可证得PA∥平面BDE；
（2）由PO⊥底面ABCD，可得PO⊥BD；底面为正方形，可得BD⊥AC，由直线和平面垂直的判定定理，可得BD⊥平面PAC，可证得PC⊥BD．

解答 证明：（1）如图，连接OE，
∵O为AC中点，E为PC中点．
∴OE为△PAC的中位线，
∴OE∥PA，
∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（2）∵底面ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，
∵PO⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PO⊥BD，
∵PO?平面PAC，AC?平面PAC，AC∩PO=O，
∴BD⊥平面PAC，
∵PC?平面PAC，
∴PC⊥BD．

点评 本题主要考查了直线与平面平行的判定定理、直线和平面垂直的性质、直线和平面垂直的判定定理与性质定理，属于中档题．