题目内容
14．已知函数f（x）=$\frac{2x-1}{x+1}$．（1）判断并证明函数f（x）在[0，+∞）的单调性；
（2）若x∈[1，m]时函数f（x）的最大值与最小值的差为$\frac{1}{2}$，求m的值．
分析 （1）直接利用函数的单调性的定义证明判断即可．
（2）利用（1）的结果，求出函数的最值，列出方程求解即可．
解答 解：（1）函数f（x）在[0，+∞）上是单调增函数．
证明如下：任取x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=2-\frac{3}{{{x_1}+1}}-（2-\frac{3}{{{x_2}+1}}）=\frac{{3（{x_1}-{x_2}）}}{{（{x_1}+1）（{x_2}+1）}}$
因为x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
所以f（x）在[0，+∞）上是单调增函数．
（2）由（1）知f（x）在[1，m]递增，所以$f（m）-f（1）=\frac{1}{2}$，即：$\frac{2m-1}{m+1}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，所以m=2．
点评 本题考查函数的单调性的判断与应用，函数的最值的求法，考查计算能力．
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4．下列命题中，正确命题的序号是②③④
①已知cos（$\frac{π}{2}$+φ）=-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且角φ的终边有一点（2，a），则a=±2$\sqrt{3}$
②函数f（x）的定义域是R，f（-1）=2，对?x∈R，f'（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（-1，+∞）；
③根据表格中的数据，可以判定方程ex-x-6=0一个根所在的区间为（2，3）；
④已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时f（x）=ex-ax，若函数f（x）在R上有且只有4个零点，则a的取值范围是（e，+∞）．
①已知cos（$\frac{π}{2}$+φ）=-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且角φ的终边有一点（2，a），则a=±2$\sqrt{3}$
②函数f（x）的定义域是R，f（-1）=2，对?x∈R，f'（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（-1，+∞）；
③根据表格中的数据，可以判定方程ex-x-6=0一个根所在的区间为（2，3）；
| x | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| ex | 0.37 | 1 | 2.72 | 7.39 | 20.09 |
| x+6 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
2．函数f（x）=lg（1-$\sqrt{x-2}}$）的定义域为（ ）
| A． | （2，3） | B． | （2，3] | C． | [2，3） | D． | [2，3] |
6．已知集合M满足{1，2}⊆M?{1，2，3，4}，则集合M的个数是（ ）
| A． | 4 | B． | 3 | C． | 2 | D． | 1 |
4．
如图ABCD-A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线AC1交平面CB1D1于点M，则下列结论正确的是（ ）
如图ABCD-A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线AC1交平面CB1D1于点M，则下列结论正确的是（ ）| A． | C，M，O三点共线 | B． | C，M，O，A1不共面 | C． | A，M，O，C不共面 | D． | B，M，O，B1共面 |