Question

已知函数f（x）=

sinx

x2+1

．下列命题：
①函数f（x）的图象关于原点对称； 
②函数f（x）是周期函数；
③当x=

π

2

时，函数f（x）取最大值；
④函数f（x）的图象与函数y=

1

x

的图象没有公共点．
其中正确命题的序号是（　　）

• A、①③
• B、②③
• C、①④
• D、②④

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：研究函数相应性质，逐一判断．

解答：解：函数定义域为R，且f（-x）=-f（x），即函数为奇函数，故①正确；
y=sinx是周期函数，而y=x²+1不是周期函数，故f（x）不是周期函数，即②错误；
f′(x)=

(x2+1)cosx-2xsinx

(x2+1)2

，f′(

π

2

)≠0，故f(

π

2

)不是最值，即③错误；
因为f(x)-

1

x

=

sinx-x- 1 x

x2+1

，当x＞0时，sinx＜x，

1

x

＞0，故sinx-x-

1

x

＜0，f（x）＜0；
当x＞0时，sinx＞x，

1

x

＜0，故sinx-x-

1

x

＞0，f（x）＞0．即函数f（x）的图象与函数y=

1

x

的图象没有公共点，④正确．
故选：C．

点评：本题考查了函数的奇偶性、周期性、最值与图象问题，属中档题，须逐一研究之．