Question

如图，海岸线上的灯塔A、B相距50海里，且灯塔B位于灯塔A的正南方向．已知甲、乙两艘轮船停泊于海上，其中甲船位于灯塔A的北偏西60°方向且与A相距50海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西30°方向且与B相距海里的C处．
（Ⅰ）求两艘船之间的距离．
（Ⅱ）若甲船沿着AD方向以10海里/小时的速度行驶，同时乙船沿着BC方向以海里/小时的速度行驶，问两艘船之间的距离何时最短？

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）如图设行驶t小时时，两船所处的位置分别为M、N，且相距y海里一所示，延长BC交直线AD于D₁，可证得D₁与D重合，在△ABD中，利用正弦定理可求得CD；
（Ⅱ）设行驶t小时时，两船所处的位置分别为M、N，且相距y海里，分当0≤t≤3与t＞3两类讨论，分别利用余弦定理可求得两艘船之间的距离，利用二次函数的配方法即可求得两艘船之间的距离何时最短．
解答：解：（Ⅰ）如图一所示，延长BC交直线AD于D₁，
∵∠DAB=120°，∠ABC=30°
∴∠AD₁B=30°，
∴AD₁=AB=50，又AD=50，
∴D₁与D重合．---2分
在△ABD中，由正炫定理得，=，
∴BD=50．--4分
由∵BC=20，
∴CD=30---5分
（Ⅱ）设行驶t小时时，两船所处的位置分别为M、N，且相距y海里．
（1）如图二，当0≤t≤3时，甲船距D的距离为10t海里，乙船距D的距离为（30-10t）海里，则
y²=（10t）²+-2×10t×（30-10t）×cos150°=300（t²-5t+9）．-----9分
（2）如图三，当t＞3时，
y²=（10t）²+-2×10t×（10t-30）×cos30°=300（t²-5t+9），
综上，y²=300（t²-5t+9），（t∈R）；且y²=300+825，
所以当t=，行驶2.5小时时，两艘船之间的距离最短．--13分
答：（I）原来两艘船之间的距离为海里；（II）行驶2.5小时时，两艘船之间的距离最近．-----14分
点评：本题考查正弦定理与余弦定理，考查根据实际问题选择函数类型，考查函数与方程思想与化归思想的综合运用，考查抽象思维能力与运算能力，属于难题．