Question

3．给出下列四个命题：
①若f′（x₀）=0，则函数y=f（x）在x=x₀取得极值；
②若m≥-1，则函数y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2x-m）的值域为R；
③“函数f（x）=$\frac{a-{e}^{x}}{1+a{e}^{x}}$在定义域内是奇函数”的充分不必要条件是“a=1”；
④定义在R上的函数y=f（x）满足条件f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x），且y=f（x-$\frac{3}{4}$）为奇函数，则f（x）为R上的偶函数．
其中正确的命题序号是②③④．

Answer 1

分析 ①f′（x₀）=0是函数y=f（x）在x=x₀取得极值的必要不充分条件；
②若m≥-1，则-1-m≤0，因此真数x²-2x-m=（x-1）²-1-m可以取到所有大于0的实数，即可得出函数y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2x-m）的值域；
③由奇函数的定义可得：f（-x）+f（x）=0，化为（a²-1）（e^2x+1）=0，可得a²-1=0，解得a即可判断出正误．
④由y=f（x-$\frac{3}{4}$）为奇函数，可得f（-x-$\frac{3}{4}$）=-f（x-$\frac{3}{4}$），因此$f（-x-\frac{3}{4}-\frac{3}{4}）$=-f（x）=f（x+$\frac{3}{2}$），可得f（-x）=f（x），即可得出奇偶性．

解答 解：①f′（x₀）=0是函数y=f（x）在x=x₀取得极值的必要不充分条件，例如f（x）=x³，f′（x）=3x²，虽然满足f′（0）=0，但是x=0不是函数f（x）的极值点；
②若m≥-1，则-1-m≤0，因此真数x²-2x-m=（x-1）²-1-m可以取到所有大于0的实数，因此函数y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2x-m）的值域为R，正确；
③“函数f（x）=$\frac{a-{e}^{x}}{1+a{e}^{x}}$在定义域内是奇函数”，可得f（-x）+f（x）=$\frac{a-{e}^{-x}}{1+a{e}^{-x}}$+$\frac{a-{e}^{x}}{1+a{e}^{x}}$=0，化为（a²-1）（e^2x+1）=0，∴a²-1=0，解得a=±1．∴“函数f（x）=$\frac{a-{e}^{x}}{1+a{e}^{x}}$在定义域内是奇函数”的充分不必要条件是“a=1”．正确．
④定义在R上的函数y=f（x）满足条件f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x），且y=f（x-$\frac{3}{4}$）为奇函数，∴f（-x-$\frac{3}{4}$）=-f（x-$\frac{3}{4}$），∴$f（-x-\frac{3}{4}-\frac{3}{4}）$=-f（x）=f（x+$\frac{3}{2}$），
∴f（-x）=f（x），则f（x）为R上的偶函数，正确．
综上可得：其中正确的命题序号是 ②③④．
故答案为：②③④．

点评 本题考查了函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．