Question

14．三角形△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a+b+c）（b+c-a）=3bc，且sinA=sinBcosC，那么△ABC是（　　）

• A． 直角三角形
• B． 等边三角形
• C． 等腰三角形
• D． 等腰直角三角形

Answer 1

分析 由余弦定理易得A=$\frac{π}{3}$，再由和差角公式可得B=$\frac{π}{2}$，可判三角形形状．

解答 解：△ABC中，∵（a+b+c）（b+c-a）=3bc，
∴（b+c）²-a²=3bc，
∴b²+c²-a²=bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$，
又∵sinA=sinBcosC，
∴sin（B+C）=sinBcosC，
∴sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC，
∴cosBsinC=0，
∴cosB=0，B=$\frac{π}{2}$，
∴△ABC是直角三角形．
故选：A．

点评 本题考查三角形形状的判定，涉及余弦定理和和差角的三角函数公式，属中档题．