Question

11．已知正实数a，b，c且a+b+c=1，则（a+1）²+4b²+9c²的最小值为$\frac{144}{49}$．

Answer 1

分析 先将式a+b+c子化为1•（a+1）+$\frac{1}{2}$•（2b）+$\frac{1}{3}$•（3c）-1的形式，再运用柯西不等式求最值．

解答 解：∵a+b+c=1•（a+1）+$\frac{1}{2}$•（2b）+$\frac{1}{3}$•（3c）-1，
∴1•（a+1）+$\frac{1}{2}$•（2b）+$\frac{1}{3}$•（3c）=2，
根据柯西不等式，（x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂）²≤（x₁²+y₁²+z₁²）•（x₂²+y₂²+z₂²）得，
[1•（a+1）+$\frac{1}{2}$•（2b）+$\frac{1}{3}$•（3c）]²≤（1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{9}$）•[（a+1）²+4b²+9c²]，
即，4≤$\frac{49}{36}$•[（a+1）²+4b²+9c²]，
因此，（a+1）²+4b²+9c²≥$\frac{144}{49}$，
当且仅当，1：（a+1）=$\frac{1}{2}$：2b=$\frac{1}{3}$：3c时取“=”，解得a=$\frac{23}{49}$，b=$\frac{18}{49}$，c=$\frac{8}{49}$，
故（a+1）²+4b²+9c²的最小值为$\frac{144}{49}$．
故答案为：$\frac{144}{49}$．

点评 本题主要考查了柯西不等式在求最值问题中的应用，以及取等条件的确定，考查了分析处理问题的能力，整体思想与构造法的解题技巧，属于中档题．