Question

15．已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d图象与y轴交点坐标为（0，4），其导函数y=f′（x）是以y轴为对称轴的抛物线，大致图象如图所示．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析 （I）求导数，利用条件建立方程组，即可求函数f（x）的解析式；
（II）求导数，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的极值．

解答 解：（I）f（x）=ax³+bx²+cx+d，f′（x）=3ax²+2bx+c
由题意，得$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=4}\\{b=0}\\{f′（-2）=0}\\{f′（0）=-4}\end{array}\right.$    …（2分）
解之，得a=$\frac{1}{3}$，b=0，c=-4，d=4，
所以，f（x）=$\frac{1}{3}$x³-4x+4 …（6分）
（II）f′（x）=x²-4，
令f′（x）＞0，可得x＜-2或x＞2，f′（x）＜0，可得-2＜x＜2，
∴函数的单调增区间是（-∞，-2），（2，+∞）；单调减区间是（-2，2）
因此，f（x）_极大值=f（-2）=$\frac{28}{3}$，f（x）_极小值=f（x）=-$\frac{4}{3}$．…（12分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．