Question

2．已知函数f（x）=x²-2|x|
（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并解不等式$f（|a|+\frac{3}{2}）＞0$．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义证明函数的奇偶性即可；（2）根据二次函数的性质求出函数的单调性，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）函数f（x）是偶函数，
函数f（x）的定义域为R，
且f（-x）=（-x）²-2|-x|=x²-2|x|=f（x），
所以函数f（x）是偶函数．
（2）当x∈（1，+∞）时，f（x）=x²-2x，
所以函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，
$|a|+\frac{3}{2}＞1$，f（2）=0，由$f（|a|+\frac{3}{2}）＞f（2）$，
且函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，
知$|a|+\frac{3}{2}＞2$，$|a|＞\frac{1}{2}$，所以$a＞\frac{1}{2}$或$a＜-\frac{1}{2}$，
即不等式$f（|a|+\frac{3}{2}）＞0$的解集是$\{a|a＞\frac{1}{2}$或$a＜-\frac{1}{2}\}$．

点评 本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查解不等式问题，是一道中档题．