Question

如图，F₁、F₂是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F₁的直线l与C的左、右2个分支分别交于点A、B．若△ABF₂为等边三角形，则双曲线的离心率为（　　）

• A．4
• B．

  7

• C．

  2 3

  3

• D．

  3

Answer 1

分析：利用双曲线的定义可得可得|AF₁|-|AF₂|=2a，|BF₂|-|BF₁|=2a，利用等边三角形的定义可得：|AB|=|AF₂|=|BF₂|，∠F1AF2=60°．在△AF₁F₂中使用余弦定理可得
：|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF2| •|AF1|cos 60°，再利用离心率的计算公式即可得出．

解答：解：∵△ABF₂为等边三角形，∴|AB|=|AF₂|=|BF₂|，∠F1AF2=60°．
由双曲线的定义可得|AF₁|-|AF₂|=2a，∴|BF₁|=2a．
又|BF₂|-|BF₁|=2a，∴|BF₂|=4a．
∴|AF₂|=4a，|AF₁|=6a．
在△AF₁F₂中，由余弦定理可得：|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF2| •|AF1|cos 60°，
∴(2c)2=(4a)2+(6a)2-2×4a×6a×

1

2

，化为c²=7a²，
∴e=

c

a

=

c2 a2

=

7

．
故选B．

点评：熟练掌握双曲线的定义、余弦定理、离心率的计算公式是解题的关键．