Question

7．已知抛物线y²=8x的准线与双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{16}$=1相交于A，B两点，如果抛物线的焦点F总在以AB为直径的圆的内部，则双曲线的离心率取值范围是（　　）

• A． （3，+∞）
• B． （1，3）
• C． （2，+∞）
• D． （1，$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 先根据抛物线方程求得准线方程，代入双曲线方程求得y，根据抛物线的焦点F总在以AB为直径的圆的内部得到$\frac{4}{a}$$\sqrt{4-{a}^{2}}$＞4，求出a的范围，利用a，b和c的关系求得c，则双曲线的离心率范围可得．

解答 解：抛物线y²=8x，则其准线方程为x=-2，焦点f（2，0），
∴焦点到准线的距离为p=4，
将准线方程为x=-2代入双曲线方程得y=±$\frac{4}{a}$$\sqrt{4-{a}^{2}}$，
∴以AB为直径的圆的半径为r=$\frac{4}{a}$$\sqrt{4-{a}^{2}}$，
∵抛物线的焦点F总在以AB为直径的圆的内部，
∴$\frac{4}{a}$$\sqrt{4-{a}^{2}}$＞4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4-{a}^{2}≥0}\\{4-{a}^{2}＞{a}^{2}}\end{array}\right.$，
解得0＜a＜$\sqrt{2}$
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{16+{a}^{2}}}{a}$=$\sqrt{\frac{16}{{a}^{2}}+1}$＞$\sqrt{\frac{16}{2}+1}$=3，
∴e＞3，
故选：A．

点评 本题主要考查了抛物线和双曲线的简单性质．解题的关键是通过其性质求出a的范围，属于中档题．