Question

1．设函数f（x）=x³-$\frac{9}{2}$x²+5x-a．
（1）当a=$\frac{1}{2}$时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）对?x∈R，都有f′（x）≥m恒成立，求m的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；
（2）?x∈R，f′（x）≥m恒成立?m≤[f′（x）]_min，利用导数可得f′（x），再利用二次函数的单调性即可得出f′（x）的最小值；

解答 解：（1）a=$\frac{1}{2}$时，f（x）=x³-$\frac{9}{4}$x²+5x-$\frac{1}{2}$，
f′（x）=3x²-$\frac{9}{2}$x+5，f（1）=$\frac{13}{4}$，f′（1）=$\frac{7}{2}$，
故切线方程是：y-$\frac{13}{4}$=$\frac{7}{2}$（x-1），
即：14x-4y-1=0；
（2）函数f（x）=x³-$\frac{9}{2}$x²+5x-a．
f′（x）=3x²-9x+5=3（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{7}{4}$，
∴[f′（x）]_min=-$\frac{7}{4}$
?x∈R，f′（x）≥m恒成立?m≤[f′（x）]_min，
∴m≤-$\frac{7}{4}$，
∴m的最大值为-$\frac{7}{4}$．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．