Question

10．如图所示，求一个棱长为$\sqrt{2}$的正四面体的体积，可以看成一个棱长为1的正方体切去四个角后得到，类比这种分法，一个相对棱长都相等的四面体A-BCD，其三组棱长分别为AB=CD=$\sqrt{5}$，AD=BC=$\sqrt{13}$，AC=BD=$\sqrt{10}$，则此四面体的体积为2．

Answer 1

分析 设四面体所在长方体棱长分别为a，b，c，则长方体的对角线长为$\sqrt{5}$，$\sqrt{13}$，$\sqrt{10}$，利用勾股定理列方程求出a，b，c，使用做差法求出四面体体积．

解答 解：设四面体ABCD所在长方体的棱长分别为a，b，c，
则$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}=5}\\{{a}^{2}+{c}^{2}=13}\\{{b}^{2}+{c}^{2}=10}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{{b}^{2}=1}\\{{c}^{2}=9}\end{array}\right.$．
∴∴四面体的体积V=abc-$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}abc$×4=$\frac{1}{3}$abc=$\frac{1}{3}\sqrt{{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}}$=2．
故答案为：2．

点评 本题考查了棱锥的体积计算，属于中档题．