Question

14．设椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左顶点为A，中心为O，若椭圆过点P（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），且AP⊥PO．
（1）求椭圆M的方程；
（2）过点P作两条斜率分别为k₁，k₂的直线交椭圆M于D、E两点，且k₁+k₂=0，求证：直线DE的斜率为常数．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：$\frac{1}{4{a}^{2}}+\frac{1}{4{b}^{2}}$=1，$\frac{\frac{1}{2}-0}{-\frac{1}{2}+a}$×$\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}}$=-1，联立解得a，b即可得出．
（2）设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）．设k₁=k，k₁+k₂=0，可得k₂=-k．直线PD、PE的方程分别为：y-$\frac{1}{2}$=k（x+$\frac{1}{2}$），y-$\frac{1}{2}$=-k（x+$\frac{1}{2}$），分别与椭圆方程联立，利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．

解答 （1）解：由题意可得：$\frac{1}{4{a}^{2}}+\frac{1}{4{b}^{2}}$=1，$\frac{\frac{1}{2}-0}{-\frac{1}{2}+a}$×$\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}}$=-1，联立解得a=1，b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴椭圆M的方程为：x²+3y²=1．
（2）证明：设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）．
设k₁=k，∵k₁+k₂=0，∴k₂=-k．
直线PD、PE的方程分别为：y-$\frac{1}{2}$=k（x+$\frac{1}{2}$），y-$\frac{1}{2}$=-k（x+$\frac{1}{2}$），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\frac{1}{2}k+\frac{1}{2}}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为：（4+12k²）x²+（12k²+12k）x+3k²+6k-1=0，
△＞0，
可得$-\frac{1}{2}{x}_{1}$=$\frac{3{k}^{2}+6k-1}{4+12{k}^{2}}$，可得x₁=$\frac{1-6k-3{k}^{2}}{2+6{k}^{2}}$，
同理可得：x₂=$\frac{1+6k-3{k}^{2}}{2+6{k}^{2}}$．
∴x₁+x₂=$\frac{1-3{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，x₂-x₁=$\frac{6k}{1+3{k}^{2}}$．
∴y₂-y₁=-kx₂-$\frac{1}{2}$k+$\frac{1}{2}$-$（k{x}_{1}+\frac{1}{2}k+\frac{1}{2}）$=-k（x₁+x₂）-k．
∴k_DE=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{-k（\frac{1-3{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}+1）}{\frac{6k}{1+3{k}^{2}}}$=-$\frac{1}{3}$为常数．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．