Question

8．对于数对序列P：（a₁，b₁），（a₂，b₂），…，（a_n，b_n），（a_i，b_i∈R⁺，i=1，2，3，…，n），记f₀（y）=0（y≥0），f_k（y）=$\underset{max}{{x}_{k}=0，1，2，3，…，m}${b_kx_k+f_k-1（y-a_kx_k）}（y≥0，1≤k≤n），其中m为不超过$\frac{y}{a_k}$的最大整数．（注：$\underset{max}{{x}_{k}=0，1，2，3，…，m}${b_kx_k+f_k-1（y-a_kx_k）}表示当x_k取0，1，2，3，…，m时，b_kx_k+f_k-1（y-a_kx_k）中的最大数）
已知数对序列P：（2，3），（3，4），（3，p），回答下列问题：
（Ⅰ）写出f₁（7）的值；
（Ⅱ）求f₂（7）的值，以及此时的x₁，x₂的值；
（Ⅲ）求得f₃（11）的值时，得到x₁=4，x₂=0，x₃=1，试写出p的取值范围．（只需写出结论，不用说明理由）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f₁（7）=$\underset{max}{{k}_{i}=0，1，2，3}${3x_i}=max{0，3，6，9}=9；
（Ⅱ）f₂（7）=$\underset{max}{{x}_{i}=0，1，2}${4x₂+f₁（7-3x₂）}=max{0+f₁（7），4+f₁（4），8+f₁（1）}，即可求f₂（7）的值，以及此时的x₁，x₂的值；
（Ⅲ）求得f₃（11）的值时，得到x₁=4，x₂=0，x₃=1，即可写出p的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f₁（7）=$\underset{max}{{k}_{i}=0，1，2，3}${3x_i}=max{0，3，6，9}=9，当x₁=3时，f₁（7）=9；
（Ⅱ）f₂（7）=$\underset{max}{{x}_{i}=0，1，2}${4x₂+f₁（7-3x₂）}=max{0+f₁（7），4+f₁（4），8+f₁（1）}，
x₂=1时，f₁（4）$\underset{max}{{x}_{i}=0，1，2}${3x_i}=max{0，3，6}=6，∴x₁=2时，f₁（4）=6，
x₂=2时，f₁（1）=$\underset{max}{{x}_{i}=0}\{2{x}_{i}\}$=0，∴x₁=0时，f₁（1）=0，
∴f₂（7）=max{9，4+6，8+0}=10，即x₂=1，x₁=2时，f₂（7）=10；
（Ⅲ）求得f₃（11）的值时，得到x₁=4，x₂=0，x₃=1，4＜p≤4.5．

点评 本题考查进行简单的合情推理，考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．