Question

6．等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=3，前n项和为S_n，数列{b_n}的通项公式为${b_n}={8^{n-1}}$且b₂S₂=64，b₃S₃=960．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）求$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+…+\frac{1}{S_n}$．

Answer 1

分析 （1）利用两个等式得到关于公差d是方程组解之；
（2）利用（1）的结论得到前n项和为S_n，利用裂项相消求和．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d（d＞0），则由题意，b₁=1，b₂=8，b₃=64，所以$\left\{\begin{array}{l}{8（6+d）=64}\\{64（9+3d）=640}\end{array}\right.$解得：d=2，∴a_n=2n+1；
（2）由（1）可得：${S_n}={n^2}+2n$
∴$\frac{1}{S_n}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$
∴$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+…+\frac{1}{S_n}=\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}）$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式以及裂项相消法求数列的和；比较基础．