Question

4．已知f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}$x．
（1）求f（x）的最大值及取得最大值时，自变量x的取值集合；
（2）指出函数y=f（x）的图象可以由y=sinx的图象经过哪些变换得到；
（3）当x∈[0，t]时，函数y=f（x）的值域为[-1，2]，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的倍角公式，结合辅助角公式进行化简，结合三角函数的最值进行求解即可．
（2）根据三角函数的图象关系进行变换即可．
（3）根据三角函数的单调性和值域之间的关系进行求解即可．

解答 解：（1）f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}$x=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
则f（x）的最大值为2，此时2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，即x=$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z时取最大值，
即f（x）取得最大值时，自变量x的取值集合是{x|x=$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z}；
（2）将y=sinx的每一个点的横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$倍，得到y=sin2x的图象，
再将y=sin2x的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位长度，得到y=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
然后将函数的每一个点的纵坐标变为原来的2倍，即可得到y=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
（3）当x∈[0，t]时，-$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2t-$\frac{π}{6}$，
由于函数y=f（x）的值域为[-1，2]，
∴$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤π+$\frac{π}{6}$，得到$\frac{π}{3}$≤t≤$\frac{2π}{3}$，
即实数t的取值范围是$\frac{π}{3}$≤t≤$\frac{2π}{3}$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式结合三角函数的倍角公式进行化简是解决本题的关键．