Question

用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为α的扇形，制成一个圆锥形容器，要使容器的容积最大，扇形的圆心角α=（　　）

• A、

  2π

  3

• B、

  2 3

  3

  π
• C、

  6

  3

  π
• D、

  2 6

  3

  π

Answer 1

考点：弧度制的应用

专题：综合题,导数的概念及应用,空间位置关系与距离

分析：设圆锥的底面半径为r，高为h，体积为V，求出r²+h²=R²，表示出体积表达式，利用导数求出函数的最大值，得到结果．

解答：解：设圆锥的底面半径为r，高为h，体积为V，那么r²+h²=R²，
因此，V=

1

3

πr2h=

1

3

πR2h-

1

3

πh3（0＜h＜R）
∴V′=

1

3

πR2-πh2．
令V′=0，得h=

3

3

R，
当0＜h＜

3

3

R时，V′＞0．
当

3

3

R＜h＜R时，V′＜0．
∴h=

3

3

R时，V取得极大值，并且这个极大值是最大值．
把h=

3

3

R代入r²+h²=R²，得r=

6

3

R．
由Rα=2πr，得α=

2 6

3

π
即圆心角α为

2 6

3

π弧度时，漏斗容积最大．
故选：D．

点评：本题考查圆锥与扇形展开图的关系，体积的计算，考查计算能力，导数的应用，必须注意函数的单调性与最值的关系．