Question

已知椭圆（a＞b＞0）和直线l：y＝bx＋2，椭圆的离心率e＝，坐标原点到直线l的距离为．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆相交于C，D两点，试判断是否存在实数k，使得以CD为直径的圆过定点E？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

（1），（2）k＝.

【解析】试题分析：（1）利用直线l：y＝bx＋2，椭圆的离心率e＝，坐标原点到直线l的距离为，建立方程，求出椭圆的几何量，即可求得椭圆的方程；（2）直线y＝kx＋2代入椭圆方程，利用韦达定理及CD为圆心的圆过点E，利用数量积为0，即可求得结论．

试题解析：（1）直线l：y＝bx＋2，坐标原点到直线l的距离为．∴b＝1

∵椭圆的离心率e＝，∴，解得a2＝3

∴所求椭圆的方程是；

（2）直线y＝kx＋2代入椭圆方程，消去y可得：（1＋3k2）x2＋12kx＋9＝0

∴△＝36k2﹣36＞0，∴k＞1或k＜﹣1

设C（x1，y1），D（x2，y2），则有x1＋x2＝－，x1x2＝

∵＝（x1＋1，y1），＝（x2＋1，y2），且以CD为圆心的圆过点E，

∴EC⊥ED∴（x1＋1）（x2＋1）＋y1y2＝0∴（1＋k2）x1x2＋（2k＋1）（x1＋x2）＋5＝0

∴（1＋k2）×＋（2k＋1）×（－）＋5＝0，解得k＝＞1，

∴当k＝时，以CD为直径的圆过定点E

考点：直线与圆锥曲线的位置关系，椭圆的标准方程