Question

4．已知圆C的内接矩形的一条对角线上的两个顶点坐标分别为P（1，-2），Q（3，4）．
（1）求圆C的方程； 
（2）若直线y=2x+b被圆C截得的弦长为$2\sqrt{5}$，求b的值．

Answer 1

分析 （1）由已知可知PQ为圆C的直径，故可得圆心C的坐标，求出半径，即可求圆C的方程； 
（2）求出圆心C到直线y=2x+b的距离，利用直线y=2x+b被圆C截得的弦长为$2\sqrt{5}$，建立方程，即可求b的值．

解答 解：（1）由已知可知PQ为圆C的直径，故圆心C的坐标为（2，1），…（2分）
圆C的半径$r=\frac{1}{2}PQ=\sqrt{10}$，…（4分）
所以圆C的方程是：（x-2）²+（y-1）²=10．…（6分）
（2）设圆心C到直线y=2x+b的距离是$d=\frac{{|{2×2-1+b}|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{|{b+3}|}}{{\sqrt{5}}}$，…（9分）
据题意得：${d^2}+{（\sqrt{5}）^2}=10$，…（12分）
即$\frac{{{{（b+3）}^2}}}{5}+5=10$，解之得，b=2或b=-8．…（14分）

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，属于中档题．