题目内容

如图，四棱锥C-ABCD中，△ABC为正三角形，AE⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，M为DC上一点，BD=BC=2AE=2。
（Ⅰ）求证：AE∥平面BCD；
（Ⅱ）当EM⊥BD时，求二面角M-AB-C的正切值。

证明：（Ⅰ）∵AE⊥平面ABC，BD⊥平面ABC
∴AE∥BD 而AE平面BCD，BD平面BCD
∴AE∥平面BCD
（Ⅱ）∵BD⊥平面ABC
∴平面BCD⊥平面ABC
在平面BCD中过点M作MN⊥BC，垂足为N
则有MN⊥平面ABC，MN∥BD,
∴且MN∥AE
过N作NG⊥AB于G，连接MG，则MG⊥AB，所以∠MGN为二面角M-AB-C的一个平面角
在四边形AEMN中
∵∠EAN=∠ANM=∠NME=
∴四边形AEMN为矩形
∴MN=AE=1
∴M为CD的中点，N为BC的中点
在Rt△MNG中，MN=1，NG=BNsin∠ABC=
∴tan∠MGN=

练习册系列答案
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如图，四棱锥C-ABDE中，△ABC为正三角形，AE⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，M为DC上一点，BD=BC=2AE=2．
（Ⅰ）求证：AE∥平面BCD；
（Ⅱ）当EM⊥BD时，求二面角M-AB-C的正切值．
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CMCP
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如图，四棱锥C－ABDE中，△ABC为等腰直角三角形AC＝AB，AE⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，M为DC上一点，BD＝BC＝2AE＝2．

(Ⅰ)求证：AE∥平面BCD；

(Ⅱ)当EM⊥BD时，求二面角M－AB－C的余弦值．