Question

5．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x（x∈N*）件．当x≤20时，年销售总收入为（33x-x²）万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．
（1）求y（万元）与x（件）的函数关系式，并写出自变量x的取值范围
（2）该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？（年利润=年销售总收入-年总投资）．

Answer 1

分析 （1）根据已知，分当x≤20时和当x＞20时两种情况，分别求出年利润的表达式，综合可得答案；
（2）根据（1）中函数的解析式，分类求出各段上的最大值点和最大值，综合可得答案．

解答 解：（1）当0＜x≤20时，y=（33x-x²）-x-100=-x²+32x-100；…（2分）
当x＞20时，y=260-100-x=160-x．…（4分）
故y=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+32x-100，0＜x≤20}\\{160-x，x＞20}\end{array}\right.$（x∈N^*）．…（6分）
（2）当0＜x≤20时，y=-x²+32x-100=-（x-16）²+156，
x=16时，y_max=156．…（9分）
而当x＞20时，160-x＜140，故x=16时取得最大年利润． …（12分）

点评 本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，分段函数的应用，难度中档．