Question

19．已知函数f（x）=e^x+ax²+bx（e为自然对数的底，a，b为常数），曲线y=f（x）在x=0处的切线经过点A（-1，-1）
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得曲线y=f（x）所有切线的斜率都不小于2？若存在，求实数a的取值集合，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函数的导函数，得到f′（0），再求出f（0），由两点求斜率公式列式求得b；
（Ⅱ）记g（x）=f′（x）=e^x+2ax+1，曲线y=f（x）所有切线的斜率都不小于2等价于g（x）≥2对任意的实数R恒成立，求函数g（x）的导函数，分a≥0和a＜0分类求解得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x+ax²+bx，
∴f′（x）=e^x+2ax+b，
∴f′（0）=1，又f（0）=1，
∴1+b=$\frac{1-（-1）}{0-（-1）}=2$，则b=1；
（Ⅱ）记g（x）=f′（x）=e^x+2ax+1，
曲线y=f（x）所有切线的斜率都不小于2等价于g（x）≥2对任意的实数R恒成立，
g′（x）=e^x+2a，
当a≥0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
∴当x＜0时，g（x）＜g（0）=2；
当a＜0时，由g′（x）=0，得x=ln（-2a），且x＜ln（-2a）时，g′（x）＜0，x＞ln（-2a）时，g′（x）＞0，
∴函数g（x）的极小值点为ln（-2a），又g（0）=2，
∴ln（-2a）=0，得a=-$\frac{1}{2}$．
∴存在实数a，使得曲线y=f（x）所有切线的斜率都不小于2，实数a的集合为{$-\frac{1}{2}$}．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上的某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，是中档题．