Question

9．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）过点A（1，-2）
（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标；
（2）是否存在平行于OA的直线（O为原点）L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于$\frac{\sqrt{5}}{5}$？若存在，求出直线L的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）将（1，-2）代入抛物线方程求得p，则抛物线方程可得，进而根据抛物线的性质求得其准线方程．
（2）先假设存在符合题意的直线，设出其方程，与抛物线方程联立，根据直线与抛物线方程有公共点，求得t的范围，利用直线AO与L的距离，求得t，则直线l的方程可得．

解答 解：（1）将（1，-2）代入抛物线方程y²=2px，
得4=2p，p=2
∴抛物线C的方程为：y²=4x，
其焦点坐标（1，0）
（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=-2x+t，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+t}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$得y²+2y-2t=0，
∵直线l与抛物线有公共点，
∴△=4+8t≥0，解得t≥-$\frac{1}{2}$
又∵直线OA与L的距离d=$\frac{|t|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求得t=±1
∵t≥-$\frac{1}{2}$
∴t=1
∴符合题意的直线l存在，方程为2x+y-1=0．

点评 本题小题主要考查了直线，抛物线等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方程思想，数形结合的思想，化归与转化思想，分类讨论与整合思想．