Question

2．设a＞0，b＞0，且a≠b，试比较a^ab^b，a^bb^a，（ab）${\;}^{\frac{a+b}{2}}$的大小．

Answer 1

分析 做商法比较大小，注意讨论a，b的大小即可．

解答 解：∵$\frac{{a}^{a}{b}^{b}}{{a}^{b}{b}^{a}}$=a^a-b•b^b-a
=（$\frac{a}{b}$）^a-b，
①若0＜a＜b，则0＜$\frac{a}{b}$＜1，a-b＜0；
故（$\frac{a}{b}$）^a-b＞1，
②若0＜b＜a，则$\frac{a}{b}$＞1，a-b＞0；
故（$\frac{a}{b}$）^a-b＞1，
∴a^ab^b＞a^bb^a，
同理可得，（ab）${\;}^{\frac{a+b}{2}}$＞a^ab^b，
故（ab）${\;}^{\frac{a+b}{2}}$＞a^ab^b＞a^bb^a．

点评 本题考查了做商法比较大小的应用及分类讨论的思想应用．