题目内容

如图所示，某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路OC；另一侧修建一条观光大道，它的前一段OD是以O为顶点，x轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段DBC是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜ $数学公式$ ），x∈[4，8]时的图象，图象的最高点为B（5， $数学公式$ ），DF⊥OC，垂足为F．
（I）求函数y=Asin（ωx+φ）的解析式；
（II）若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园PMFE，问点P落在曲线OD上何处时，水上乐园的面积最大？

解：（Ⅰ）对于函数y=Asin（ωx+φ）由图象可知，A= $\text{[math]}$ ，ω= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
将（5， $\text{[math]}$ ），代入y= $\text{[math]}$ sin（ $\text{[math]}$ x+φ）得： $\text{[math]}$ ，
|φ|＜ $\text{[math]}$ ，所以φ= $\text{[math]}$ ，所以函数的解析式为y= $\text{[math]}$ sin（ $\text{[math]}$ x $\text{[math]}$ ）．
（Ⅱ）在y= $\text{[math]}$ sin（ $\text{[math]}$ x $\text{[math]}$ ）中，令x=4，得D（4，4）
从而得曲线OD的方程为y²=4x，（0≤x≤4）．
设点P（ $\text{[math]}$ ）（0≤t≤4），则矩形PMFE的面积为S= $\text{[math]}$ ，0≤t≤4．
因为S′=4- $\text{[math]}$ ，由S′=0得t= $\text{[math]}$ ，且t∈ $\text{[math]}$ 时S′＞0，S递增，
t∈ $\text{[math]}$ 时S′＜0，S递减，
所以当t= $\text{[math]}$ ，S最大，此时点P的坐标 $\text{[math]}$ ．
分析：（I）利用函数的解析式，结合函数的图象求出A，ω，通过函数经过B，求出φ，即可求函数y=Asin（ωx+φ）的解析式；
（II）求出D（4，4），曲线OD的方程为y²=4x，（0≤x≤4）．推出矩形的面积的表达式，利用函数的导数求出面积的最大值，推出P的位置即可．
点评：本题考查已知三角函数模型的应用问题，利用导数研究函数的单调性，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查分析问题解决问题的能力．