Question

10．若不等式m²-2km≥0对所有k∈[-1，1]恒成立，则实数m的取值范围是（-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞）．

Answer 1

分析 首先题目所给条件是飞不等式恒成立问题，是关于k的不等式恒成立，求m的范围；其次可以将不等式的左兰半部分看作是关于k的一次函数，此时问题转化为在某一区间函数值≥0恒成立，所以我们可以用分离参数法解决此问题．

解答 解：令y=m²-2km，则有y≥0对?k∈[-1，1]恒成立，
不等式m²-2km≥0?2km≤m²，
依题意关于k的不等式解集为[-1，1]，所以分以下几种情况：
①当m=0时，不等式为0≤0成立；
②当m＞0时，不等式的解为$k≤\frac{m}{2}$，只需满足条件$\frac{m}{2}≥1$即可，此时m≥2；
③当m＜0时，不等式的解为$k≥\frac{m}{2}$，只需满足条件$\frac{m}{2}≤-1$即可，此时m≤-2；
故答案为：（-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞）．

点评 本题变相考察函数恒成立问题，常用方法为分离参数或求导法；应用分离参数法时应注意除数的正负及不等号方向．