题目内容

国家边防战士饲养优种信鸽担负书信传输解决边防信息传输不方便问题，在雅安震灾救援信息传输任务中，已知飞回的6只信鸽中，有一只被禽流感病毒感染，需要通过化验鸽血来确定患鸽，以免传染造成更大损失，血液化验结果呈阳性即为患鸽，呈阴性的即为健康鸽子，下面是两种化验方案：
方案甲：逐个化验，直到能确定患鸽为止；
方案乙：将鸽子分为两组，每组3只，并将它们的血液混合在一起化验，若结果是阳性，则表明患鸽在这3只之中，然后再逐个化验，直到确定患鸽为止；若结果呈阴性，则在另外一组信鸽中逐个进行化验．
（1）求依方案乙所需化验恰好为2次的概率；
（2）首次化验化验费10元，第二次化验化验费8元，第三次及其以后每次都是6元，列出甲方案所需化验费用的分布列，并估计用甲方案平均需要化验费多少？
（3）试比较两种方案，估计哪种方案有利于尽快查找到患鸽．
考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差
专题：概率与统计
分析：（1）依方案乙所需化验恰好为2次，有两种可能：①先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中；②先验三只结果为阴性，再从其它三只中恰好一次验中，由此能求出依方案乙所需化验恰好为2次的概率．
（2）由题意知甲方案所需化验费用X=10，8，6，由此能求出X的分布列和EX，从而求出用甲方案平均需要化验费7元．
（3）设甲方案的试验的次数为ξ，ξ=1，2，3，4，5，Eξ=
10
3
；设乙方案的试验次数为η，η=2，3，Eη=
17
6
，从而乙方案有利于尽快查找到患鸽．
解答： 解：（1）依方案乙所需化验恰好为2次，有两种可能：
①先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中概率为：
C
2
5
A
3
3
A
3
6
•
1
A
3
3
=
1
12
．
②先验三只结果为阴性，再从其它三只中恰好一次验中概率为：
A
3
5
A
3
6
•
1
A
3
3
=
1
12
．
∴依方案乙所需化验恰好为2次的概率为
1
12
+
1
12
=
1
6
．
（2）由题意知甲方案所需化验费用X=10，8，6，
P（X=10）=
1
6
，P（X=8）=
1
6
，P（X=6）=
2
3
，
∴X的分布列为：
 X 10 86 
 P 
1
6
 
1
6
 
2
3
EX=10×
1
6
+8×
1
6
+6×
2
3
=7．
∴用甲方案平均需要化验费7元．
（3）设甲方案的试验的次数为ξ，
ξ=1，2，3，4，5，
P（ξ=1）=P（ξ=2）=P（ξ=3）=P（ξ=4）=
1
6
，P（ξ=5）=
2
6
，
Eξ=（1+2+3+4）×
1
6
+5×
2
6
=
10
3
，
设乙方案的试验次数为η，η=2，3，
P（η=2）=
1
6
，P（η=3）=
5
6
，
Eη=2×
1
6
+3×
5
6
=
17
6
，
Eη＜Eξ，∴乙方案有利于尽快查找到患鸽．
点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的数学期望的求法及应用，解题时要认真审题，是中档题．
练习册系列答案
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