Question

16．已知f（x）=e^x-x²+b，曲线y=f（x）与直线y=ax+1相切于点（1，f（1））
（1）求a，b的值；
（2）求证：当x＞0时，e^x+（2-e）x-1≥x²．

Answer 1

分析 （1）求导数，由题设得a-f'（1）=e-2，a+1-f（1）=e-1+b，即可求a，b的值；
（2）由（1）得，f（x）=e^x-x²，设g（x）=e^x+（2-e）x-1-x²，x＞0，则g'（x）=e^x-2x+2-e，设h（x）=g'（x），则h'（x）=e^x-2，确定函数的单调性，即可证明结论．

解答 （1）解：f'（x）=e^x-2x．  
由题设得a=f'（1）=e-2，a+1=f（1）=e-1+b．
故a=e-2，b=0．…（4分）
（2）证明：由（1）得，f（x）=e^x-x²，设g（x）=e^x+（2-e）x-1-x²，x＞0．
则g'（x）=e^x-2x+2-e，
设h（x）=g'（x），则h'（x）=e^x-2，
当x∈（0，ln2）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，
当x∈（ln2，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，
又h（0）=3-e＞0，h（1）=0，且0＜ln2≤1，h（ln2）＜0，
所以?x₀∈（0，1），h（x₀）=0
所以当x∈（0，x₀）或x∈（1，+∞）时，g'（x）＞0；当x∈（x₀，1）时，g'（x）＜0，
故g（x）在（0，x₀）和（1，+∞）单调递增，在（x₀，1）单调递减，
又g（0）=g（1）=0，所以g（x）=e^x-x²-（e-2）x-1≥0，
即当x＞0时，e^x+（2-e）x-1≥x²．

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查构造法的运用，属于中档题．