Question

19．已知当1≤x≤2时，不等式x²-kx+k+1≥0恒成立，则实数k的取值范围是k≤5．

Answer 1

分析 根据题意，分离参数，利用函数的单调性，即可得到实数k的取值范围．

解答 解：x²-kx+k+1≥0恒成立，即为（x-1）k≤x²+1，
∴k≤$\frac{{x}^{2}+1}{x-1}$，在[1，2]上恒成立，
设f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{x-1}$，
则f′（x）=$\frac{2x（x-1）-（{x}^{2}+1）}{（x-1）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-2x-1}{（x-1）^{2}}$，
令f′（x）=0，解得x=1-$\sqrt{2}$，x=1+$\sqrt{2}$，
当f′（x）＜0时，即1≤x≤2，函数单调递减，
∴f（x）_min=f（2）=5，
∴k≤5，
故答案为：k≤5

点评 本题考查函数的恒成立问题，解题的关键是对于所给的函数式的分离参数，写出要求的参数，再利用函数的最值解决．