Question

设不等式x²+px-p（p-1）≥0对任意正整数x都成立，则实数p的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：令f（x）=x²+px-p（p-1），分△＜0与

△≥0 - p 2 ≤1 f(1)≥0

两种情况解得，最后取其并集即可求得实数p的取值范围．

解答：解：令f（x）=x²+px-p（p-1），
①若△=p²-4×[-p（p-1）]=5p²-4p＜0，即0＜p＜

4

5

，不等式x²+px-p（p-1）≥0对任意正整数x都成立；
②若△=5p²-4p≥0，则

- p 2 ≤1 f(1)≥0

，即

△≥0 - p 2 ≤1 f(1)≥0

⇒

p≥ 4 5 或p≤0 p≥-2 1- 2 ≤p≤1+ 2

⇒1-

2

≤p≤0或

4

5

≤p≤1+

2

，
∵[1-

2

，0]∪（0，

4

5

）∪[

4

5

，1+

2

]=[1-

2

，1+

2

]．
∴实数p的取值范围是[1-

2

，1+

2

]．
故答案为：[1-

2

，1+

2

]．

点评：本题考查一元二次不等式的解法，理解题意并分△＜0与

△≥0 - p 2 ≤1 f(1)≥0

两种情况讨论解决是关键，属于中档题．