Question

2．如图，A、B、C、D、E在圆周上，且 A B∥C E，A E∥BD，BD交C E于点F，过 A点的圆的切线交C E的延长线于 P，若 PE=CF=1，P A=2．
（1）求 A E的长；
（2）求证：点F是 BD的中点．

Answer 1

分析 （1）利用△PAE∽△EB A，及切割线定理求AE的长；
（2）利用相交弦定理证明BF=FD，即可证明点F是 BD的中点．

解答 （1）解：∵PA²=PC•P E，PA=2，PE=1，∴PC=4，（2分）
又∵P E=CF=1，∴EF=2，
∵∠PA E=∠EB A，∠PE A=∠EA B，
∴△PAE∽△EB A，∴$\frac{{{P}{E}}}{{{A}{E}}}=\frac{{{A}{E}}}{{{A}{B}}}$，（4分）
∴AE²=P E•A B=2，∴${A}{E}=\sqrt{2}$．（5分）
（2）证明：∵${B}F={A}{E}=\sqrt{2}$，EF=2，而 EF•FC=BF•FD，（8分）
∴$DF=\frac{2•1}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$，∴BF=FD，
∴点F是 BD的中点．（10分）

点评 本题考查切割线定理、相交弦定理，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．