Question

5．已知函数f（x）=e^x+ax+b（a≠0，b≠0）．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=2，求f（x）在区间[-2，1]上的最值；
（Ⅱ）若a=-b，试讨论函数f（x）在区间（1，+∞）上零点的个数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导数，利用函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=2，解得a=-1，b=1，求得极小值2，也为最小值，再求f（-2）和f（1），比较即可得到最大值；
（Ⅱ）若a=-b，f（x）=e^x+ax-a=0，x＞1，-a=$\frac{{e}^{x}}{x-1}$，g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x-1}$，求出导数，求得单调区间和极值，即可讨论函数f（x）在区间（1，+∞）上零点的个数．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x+ax+b，∴f′（x）=e^x+a，
∴f′（0）=1+a，
∵函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=2，
∴a=-1．
∵x=0，f（0）=2，
∴1+b=2，
∴b=1，
∴f（x）=e^x-x+1，
∴f′（x）=e^x-1，
当x＜0时，有f′（x）＜0，f（x）递减，
当x＞0时，有f′（x）＞0，f（x）递增．
则x=0处f（x）取得极小值，也为最小值，且为2，
又f（-2）=e^-2+3，f（1）=e，f（2）＞f（1），
即有f（-2）为最大值e^-2+3；
（Ⅱ）若a=-b，f（x）=e^x+ax-a=0，x＞1，-a=$\frac{{e}^{x}}{x-1}$，
令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x-1}$，则g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-2）}{（x-1）^{2}}$，
当x＞2时，g′（x）＞0，g（x）递增，
当x＜1和1＜x＜2时，g′（x）＜0，g（x）递减．
即有x=2处g（x）取得极小值，为e²，
∴-a＜e²，即a＞-e²，函数f（x）在区间（1，+∞）上零点的个数为0；
-a=e²，即a=-e²，函数f（x）在区间（1，+∞）上零点的个数为1；
-a＞e²，即a＜-e²，函数f（x）在区间（1，+∞）上零点的个数为2．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查函数的零点问题，注意函数与方程的转化思想的运用，考查运算能力，属于中档题．