Question

已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）设，证明：对任意，．

 

Answer 1

（1）详见解析；（2）详见解析．

【解析】

试题分析：（1）先求导数，利用导数求函数的单调区间，注意要对参变量 的取值进行分类讨论；

（2）由（1）的结论知当a≤－2时， f（x）在（0,+）单调递减；设x1≥x2．等价于≥4x1－4x2,进一步转化为函数g（x）=f（x）+4x在（0，+）的单调性问题解决．

试题解析：【解析】
（1） f（x）的定义域为（0,+），． 1分

当a≥0时，＞0，故f（x）在（0,+）单调递增； 3分

当a≤－1时，＜0, 故f（x）在（0,+）单调递减； 5分

当－1＜a＜0时，令＝0,解得x=．当x∈（0, ）时, ＞0；

x∈（，+）时，＜0, 故f（x）在（0, ）单调递增，在（，+）单调递减． 7分

（2）不妨假设x1≥x2．由于a≤－2,故f（x）在（0，+）单调递减． 8分

所以等价于≥4x1－4x2,

即f（x2）+ 4x2≥f（x1）+ 4x1． 10分

令g（x）=f（x）+4x,则+4＝

于是≤＝≤0． 12分

从而g（x）在（0，+）单调递减，故g（x1） ≤g（x2），

即　f（x1）+ 4x1≤f（x2）+ 4x2，故对任意x1,x2∈（0,+） ，． 14分

考点：导数在研究函数性质中的应用