Question

20．在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=$\sqrt{3}$，AD=1，A=$\frac{5π}{6}$
（1）求sin∠ADB
（2）若∠BDC=$\frac{2π}{3}$，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）在△ABD中，AB=$\sqrt{3}$，AD=1，A=$\frac{5π}{6}$，由余弦定理得BD=$\sqrt{7}$．在△ABD中，由正弦定理得$\frac{BD}{sinA}$=$\frac{AB}{sin∠ADB}$，解得sin∠ADB．
（2）设∠CBD=α，由AD∥BC，可得∠ADB=∠CBD=α，可得sin$α=\frac{\sqrt{21}}{14}$．可得cosα=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$，由∠BDC=$\frac{2π}{3}$，可得sinC=sin$（\frac{π}{3}-α）$．在△BCD中，由正弦定理得$\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{21}}{7}}$=$\frac{BC}{sin\frac{2π}{3}}$，解得BC．由S_△BCD=$\frac{1}{2}BD•BC$sinα，S_△ABD=$\frac{1}{2}×AB×AD$sinA，可得四边形ABCD的面积S．

解答 解：（1）在△ABD中，AB=$\sqrt{3}$，AD=1，A=$\frac{5π}{6}$，
由余弦定理得BD²=$（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}-2×\sqrt{3}×1×$cos$\frac{5π}{6}$，
解得BD=$\sqrt{7}$．
在△ABD中，由正弦定理得$\frac{BD}{sinA}$=$\frac{AB}{sin∠ADB}$，即$\frac{\sqrt{7}}{sin\frac{5π}{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin∠ADB}$，
解得sin∠ADB=$\frac{\sqrt{21}}{14}$．
（2）设∠CBD=α，
因为AD∥BC，所以∠ADB=∠CBD=α，
所以sin$α=\frac{\sqrt{21}}{14}$．
因为$0＜α＜\frac{π}{2}$，所以cosα=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$，…（5分）
因为∠BDC=$\frac{2π}{3}$，
所以sinC=sin$（\frac{π}{3}-α）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}cosα-\frac{1}{2}sinα$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，6分）
在△BCD中，由正弦定理得$\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{21}}{7}}$=$\frac{BC}{sin\frac{2π}{3}}$，
解得BC=$\frac{7}{2}$．                             …（7分）
所以S_△BCD=$\frac{1}{2}BD•BC$sinα=$\frac{1}{2}×\sqrt{7}$×$\frac{7}{2}$×$\frac{\sqrt{21}}{14}$=$\frac{7\sqrt{3}}{8}$，…（8分）
S_△ABD=$\frac{1}{2}×AB×AD$sinA=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1×sin\frac{5π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，…（9分）
∴四边形ABCD的面积S=$\frac{7\sqrt{3}}{8}+\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{9\sqrt{3}}{8}$，…（10分）

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数的单调性与求值、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．