Question

15．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，AA₁=2，AC=2$\sqrt{2}$，M是CC₁的中点，P是AM的中点，点Q在线段BC₁上，且BQ=$\frac{1}{3}$QC₁．
（1）证明：PQ∥平面ABC；
（2）若直线BA₁与平面ABM成角的正弦值为$\frac{2\sqrt{15}}{15}$，求∠BAC的大小．

Answer 1

分析 （1）设AB=a，BC=b，以B为坐标原点建立坐标系，则$\overrightarrow{B{B}_{1}}$为平面ABC的一个法向量，求出$\overrightarrow{PQ}$，$\overrightarrow{B{B}_{1}}$的坐标，通过证明$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{B{B}_{1}}$=0得出PQ∥平面ABC；
（2）求出$\overrightarrow{B{A}_{1}}$和平面ABM的法向量$\overrightarrow{n}$，令|cos＜$\overrightarrow{B{A}_{1}}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{2\sqrt{15}}{15}$得出a，b的关系，结合a²+b²=8得出a，b的值，从而确定∠BAC的大小．

解答 证明：（1）分别以BA，BC，BB₁为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系B-xyz，如图所示：
设AB=a，BC=b，则A（a，0，0），B（0，0，0），M（0，b，1），C₁（0，b，2）．
∴P（$\frac{a}{2}$，$\frac{b}{2}$，$\frac{1}{2}$），Q（0，$\frac{b}{4}$，$\frac{1}{2}$）．∴$\overrightarrow{PQ}$=（-$\frac{a}{2}$，-$\frac{b}{4}$，0）．
∵BB₁⊥平面ABC，∴$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，2）为平面ABC的一个法向量．
∵$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{B{B}_{1}}$=0，PQ?平面ABC，
∴PQ∥平面ABC．
（2）A₁（a，0，2），$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（a，0，2），$\overrightarrow{BA}$=（a，0，0），$\overrightarrow{BM}$=（0，b，1），
设平面ABM的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BA}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BM}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{ax=0}\\{by+z=0}\end{array}\right.$，令z=1得$\overrightarrow{n}$=（0，-$\frac{1}{b}$，1）．
∴cos＜$\overrightarrow{B{A}_{1}}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{B{A}_{1}}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{B{A}_{1}}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{{a}^{2}+4}\sqrt{\frac{1}{{b}^{2}}+1}}$=$\frac{2\sqrt{15}}{15}$．
∴（a²+4）（$\frac{1}{{b}^{2}}+1$）=15．
∵AC=2$\sqrt{2}$，∴a²=8-b²．∴（12-b²）（$\frac{1}{{b}^{2}}+1$）=15．
解得b=$\sqrt{2}$．∴sin∠BAC=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{2}$．
∴∠BAC=30°．

点评 本题考查了线面平行的判定，空间向量的应用，线面角的计算，属于中档题．